dx%2B1%2F4(x%2Bxy%5E2)dy%3D0.jpeg "(y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0")
Pengenalan
Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang integral tak tentu dari persamaan diferensial partial yang diberikan oleh:
$\left(y+\frac{y^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)dx+\frac{1}{4}(x+xy^2)dy=0$
Persamaan ini dapat diselesaikan menggunakan metode yang umum digunakan dalam kalkulus diferensial, yaitu integrasi parsial.
Mengintegrasikan Persamaan
Untuk mengintegrasikan persamaan di atas, kita perlu membagi kedalam dua bagian: bagian x dan bagian y.
Bagian x
Bagian x dari persamaan dapat diintegrasikan sebagai berikut:
$\int\left(y+\frac{y^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)dx$
$= xy + \frac{xy^3}{3} + \frac{x^3}{6} + C$
Bagian y
Bagian y dari persamaan dapat diintegrasikan sebagai berikut:
$\int\frac{1}{4}(x+xy^2)dy$
$= \frac{xy}{4} + \frac{xy^3}{12} + C$
Menyatukan Hasil
Setelah mengintegrasikan bagian x dan bagian y, kita dapat menyatukan hasilnya ke dalam satu persamaan:
$xy + \frac{xy^3}{3} + \frac{x^3}{6} = \frac{xy}{4} + \frac{xy^3}{12} + C$
Hasil Akhir
Dengan demikian, kita telah menyelesaikan integral tak tentu dari persamaan diferensial partial yang diberikan. Hasil akhir dapat diulis sebagai:
$xy + \frac{xy^3}{3} + \frac{x^3}{6} = \frac{xy}{4} + \frac{xy^3}{12} + C$
dimana C adalah konstanta.
